5. ریاضیات دوره اسلامی 

آغاز و انجام تمدن اسلامی یکی از عجیب ترین وقایع تاریخ بشر است. مردمی که قرنها در توحش می زیستند، سواد در میان آنها محلی از اِعراب نداشت، دختران خود را زنده به گور می کردند، بدترین غذاها را می خوردند و دائماْ در حال نزاع قبیله ای بودند، فقط در عرض حدود 90 سال، تمدنی را بر پا کردند که از کرانه های سند در هندوستان تا شمال افریقا و اسپانیا امتداد داشت. تمدنی که فراگرفتن علم و دانش را جهاد راه خدا می دانست و در کتابخانه های آن هزاران جلد و در بعضی از آنها حدود چهار صد هزار جلد کتاب موجود بود- مانند کتابخانه سلطنتی امیر قرطبه. به قول جواهر لعل نهرو، در بعضی از مناطق این تمدن پهناور، تقریباْ همه سواد خواندن و نوشتن داشتند و بعضی از شهرهای آن بالغ بر یک میلیون نفر جمعیت داشت با تمام امکانات رفاهی لازم. مسلمانان علوم دقیقی همچون ریاضی، فیزیک، شیمی، مهندسی، پزشکی، نجوم و دریانوردی را با علوم معنوی همچون فلسفه، منطق، حکمت و عرفان پیوند داده بودند. چنین تمدنی- اما - به دلیل دور شدن مسلمین از احکام زیبای اسلام، کم کم رو به زوال نهاد و جای خود را به تمدن غرب داد.
تمدن غرب به گواهی صدها سند و مدرک، وجود خود را مدیون تمدن اسلامی است. اما ریاکارانه سعی در پنهان کردن این دین و کم اهمیت جلوه دادن تمدن بزرگ اسلامی داشته و دارد. غربیها - جز اندکی از دانشمندان منصف آن- سعی دارند که چنین جلوه دهند که تنها نقشی که تمدن هفتصد ساله اسلامی دارد، همانا محافظت از علوم یونانی و انتقال آنها به اروپاست که توهینی بس بزرگ به این تمدن شکوهمند و دروغی کاملا آشکار است.

با نگاهی به کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز که در حال حاضر یکی از منابع مهم دانشگاهی کشور در درس تاریخ ریاضی است، می توان بارها و بارها این بی انصافی را مشاهده کرد. به طور مثال وقتی از تمدن اسلامی صحبت می کند با دهها دانشمند عالیمقام آن، تنها حدود 15 صفحه را به آن اختصاص می دهد، اما برای تشریح تاریخ ریاضیات قرون وسطی - یا به قول خودشان قرون تاریکی - تا آخر قرن شانزدهم که مدت آن حدود 1000 سال و کارهای اصیل ریاضی در آن کم است، 47 صفحه از کتاب را پر می کند و حتی گاهی به جزئیات کتابهای ریاضیدانان این عصر می پردازد. به طور مثال رجوع کنید به صفحات 255 و 256 (جلد اول، ویرایش دوم) که درباره «لیبرآباکی»، کتاب مشهور فیبوناتچی صحبت می کند( کتابی که اساساْ کپی هنرمندانه ای از آثار خوارزمی و ابوکامل به همراه تحقیقات اوست) یا اواخر صفحه 259 و اول صفحه 260 که درباره کتاب رگیومانتوس صحبت می کند و نیز شکل صفحه 265. در اینباره حرف بسیار است و درد دل فراوان که انشاءالله در وقت و جای مناسب درباره آن مفصلاْ و به طور کاملاْ مستند صحبت خواهیم کرد. «قضاوت منصفانه را به خواننده واگذار می کنیم.» 

حال به خلاصه ای از مطالب کتاب هاورد ایوز درباره ریاضیات دوره اسلامی می پردازیم. البته همان طور که توضیح داده شد، این مطالب کاملاْ گزینشی و بسیار ناقص است که به لطف خدا در قسمت زندگینامه ریاضیدانان مشهور در حد توان این نقایص را رفع خواهیم کرد. همچنین برای اطلاع از وسعت کارهای مسلمین در ریاضیات به اینجا و اینجا مراجعه کنید.

برتری تمدن اسلامی بر سایر تمدنها حدودا از سال 700 میلادی آغاز گردید و حدودا تا سال 1500 میلادی که اسپانیا از تسلط مسلمین خارج شد، ادامه یافت. از همان ابتدا، خلفا به حامیان علم مبدل شدند و دیگران را تشویق کردند که آثار هندی و یونانی را در نجوم، طب و ریاضیات به زبان عربی برگردانند. در نتیجه بسیاری از علوم یونانی و هندی بدین طریق سالم ماند و در قرون وسطی از میان نرفت. به طور خلاصه به شرح بعضی از کارهای مسلمین در ریاضیات می پردازیم:

1. ترجمه المجسطی (اثر بطلمیوس) و اصول قلیدس از یونانی به عربی
   
   
2. تالیف کتاب الجبر و المقابله - که کلمه Algebra از همین کتاب اقتباس شده است- و کتابی درباره ارقام هندی - که بوسیله آن کلمه «آلگوریتم»، لاتینی شده کلمه «الخوارزمی»، به ریاضیات اضافه شد - توسط «محمد بن موسی خوارزمی». این دو کتاب تاثیر بسیار زیادی در پیشرفت ریاضیات اروپا داشتند.
   
   
3. کارهای «ثابت بن قُره» در ترجمه بسیار خوب آثار یونانی و نیز کارهای او در جبر مقدماتی، مربعهای جادویی و یافتن اعداد متحابه که ظاهراْ از اولین کارهای اصیل ریاضیات توسط مسلمین است. او قضیه فیثاغورث را به روش زیبایی تعمیم داده است.(مراجعه کنید به صفحه 243 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز) 
   
   
4. معرفی تابع تانژانت به وسیله «ابوالوفای بوزجانی». او جدول بزرگی از سینوس و تانژانت زوایا را برای محاسبات مثلثاتی به دست آورد.
   
   
5. تالیف کتابی به نام «فخری» از «کرخی» یا «کرجی» که یکی از فاضلانه ترین کارهای مسلمین در جبر است. همچنین کرخی قضایایی ارائه کرد که مجموع مربعات و مکعبات اولین n عدد طبیعی را محاسبه می کرد.
   
   
6. حل هندسی معادله درجه سوم توسط «عمر خیام» که یکی از عمیقترین و بدیعترین آثار جبری مسلمین است.
   
   
7. تولد هندسه نا اقلیدسی با کارهای «خواجه نصیرالدین طوسی». مباحث او در این زمینه، حدوداْ 450 سال بعد در قرن هفدهم میلادی در دانشگاه آکسفورد برای تدریس هندسه مورد استفاده قرار گرفت. برهان اصیلی نیز برای قضیه فیثاغورث به خواجه نصیر منسوب است.(مراجعه کنید به صفحه 232 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز)
   
   
8. تقریب عدد پی تا 16 رقم توسط «غیاث الدین جمشید کاشانی» که تا 200 سال بعد از او کسی به دقت او در محاسبه عدد پی به روش کلاسیک نرسید. همچنین او کارهای جالبی درباره ارتباط بین قضیه دو جمله ای نیوتن و مثلث خیام-پاسکال انجام داده است.
   
   
9. مسلمین کارهای زیادی برای حل معادلات سیاله انجام دادند. به عنوان مثال برهانی بر این قضیه ارائه کردند که مجموع مکعبات دو عدد طبیعی برابر مکعب هیچ عدد طبیعی نمی شود. این قضیه حالت خاصی از «آخرین قضیه فرما» است.
   
   
10. بسیاری از نامها و واژه های کنونی را می توان در دوره مسلمین یافت. به طور مثال بد نیست بدانید که کلمه «سینوس» ترجمه لاتینی کلمه عربی «جَیب»، به معنای خلیج کوچک است.

6. ریاضیات اروپایی- قرون ششم تا آخر قرن شانزدهم

در طول پانصد سال که به عصر تاریکی اروپا شهرت دارد و با سقوط امپراطوری رم در اواسط قرن پنجم شروع شد و تا قرن یازدهم ادامه یافت، تقریباْ کار خاصی در علم به طور عام و در ریاضیات به طور خاص انجام نشد. از ریاضیدانان این دوران، معمولاْ از چهار نفر نام می برند که عبارتند از: بوئتیوس، بید، آلکوین و پاپ سیلوستر دوم نام می برند. این چهار نفر با تالیف کتب ریاضی - که معمولاْ بسیار ضعیف بودند - و تدریس آنها، در تاریخ ریاضیات این دوران بسزایی ایفا کردند. جالب است بدانیم  که پاپ سیلوستر دوم در مدارس مسلمانان اسپانیا درس خوانده بود.

(ب) قرن دوازدهم:

 از اوایل قرن دوازدهم میلادی، آثار یونانی و اسلامی به اروپای غربی انتقال یافت و این قرن در تاریخ ریاضیات، به قرن مترجمین بدل شد. اصول اقلیدس، المجسطی بطلمیوس و جبر خوارزمی به لاتین ترجمه شدند و دستگاه شمار هندی-عربی در اروپای غربی رواج یافت.

(ج) قرن سیزدهم و چهاردهم:
معمولاْ از «لئوناردو فیبوناتچی» به عنوان با استعدادترین ریاضیدان اروپا در قرن سیزدهم یا حتی قرون وسطی نام می برند. او در ایتالیا به دنیا آمد و در الجزایر بزرگ شد. در سفرهایش به مصر، سیسیل، یونان و سوریه مطالب بسیاری آموخت و پس از مراجعت به وطنش ایتالیا، بزرگترین کتاب خود به نام «کتاب حساب» یا «لیبرآباکی» را منتشر کرد. این کتاب که تاثیر بسیاری بر ریاضیات اروپای غربی داشت، ظاهراْ براساس جبر خوارزمی و ابوکامل نوشته شده است، هر چند که تحقیق مستقلی در حساب و جبر مقدماتی است. دنباله معروف فیبوناتچی در همین کتاب معرفی شده است. او دو کتاب دیگر به نامهای «هندسه عملی» و «کتاب مجذورات» نوشت که این آثار فراتر از تواناییهای اغلب فضلای معاصر وی بودند. البته  گفته شده است که شهرت بسیار فیبوناتچی، به دلیل فقدان معاصرین همتا با وی در اروپا بوده است نه به دلیل ویژگیهای علمی بالای آثار او.
لازم است که بدانیم قرن سیزدهم، شاهد ظهور دانشگاههای پاریس، آکسفورد، کیمبریج، پادوآ و ناپل است که بعضی از آنها به تقلید از دانشگاههای اسلامی بنا شده است.
در قرن چهاردهم که به قرن «مرگ سیاه» معروف است، کار قابل ملاحظه ای در ریاضیات انجام نشد جز نشانه هایی از پیدایش هندسه مختصاتی نوین و نیز مفاهیم اساسی پیوستگی و گسستگی و نیز مفاهیم بی نهایت کوچک و بزرگ.

(د) قرن پانزدهم و شانزدهم:

تاریخ قرن پانزدهم با آغاز رنسانس اروپا، زوال امپراطوری بیزانس به دست مسلمین، انتشار آثار کلاسیک یونان به زبان اصلی، اختراع صنعت چاپ که نشر دانش را با سرعتی بی سابقه میسر کرد و کشف قاره آمریکا که کشتیرانی دور کره زمین و فعالیتهای تجاری را افزونتر کرد، عجین شده است. این وقایع خود به خود بر پیشرفت ریاضیات اثر بسیار نهادند. در این قرن کم کم شاهد ظهور علامات + و -- (جمع و تفریق) و نیز استفاده از علاماتی برای مختصر نویسی ریاضی هستیم. 

قرن شانزدهم شاهد یکی از کارهای مهم در تاریخ ریاضیات است. در این قرن نمادگرایی در جبر آغاز شد. نماد معروف تساوی در این قرن به کار گرفته شد که علامت یک جفت پاره خط موازی و مساوی است. به قول «رکورد» که اولین بار آنرا به کار برد، هیچ دو شیئ نمی توانند مساوی تر از این باشند. نماد رادیکال نیز در همین قرن ابداع شد. احتمالاْ این نماد به جهت شباهت آن به r و به نشانه radix (ریشه) به کار گرفته شده است. در قرن شانزدهم اعداد منفی نیز مورد توجه قرار گرفتند.
در این قرن، از ریاضیات برای مقاصد اعتقادی نیز استفاده می شد. به عنوان مثال، از ریاضی حتی برای تفسیر آیات انجیل و تورات استفاده کردند.

احتمالاْ جالبترین دستاورد ریاضی قرن شانزدهم، کشف راه حل جبری معادلات درجه 3 و 4  توسط چهار ریاضیدان ایتالیایی است که عبارتند از: «فرّو»،«تارتاگلیا»، «کاردانو» (یا کاردان) و «فراری». داستان این کشف و نیز زندگانی این ریاضیدانان، یکی از خواندنی ترین فرازهای تاریخ ریاضیات است که چون هدف ما بیان خلاصه ای از وقایع تاریخ ریاضی است، از شرح آن - البته با اکراه- می گذریم. برای مطالعه آن به صفحات 266 تا 271 جلد اول تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید. 

بالاخره باید از بزرگترین ریاضیدان فرانسوی این قرن، «فرانسوا ویت» نام برد که سهم قابل ملاحظه ای در پیشرفت مثلثات دارد. او جبردان برجسته ای نیز بود و روشی برای تقریب ریشه یک معادله ارائه و معادله درجه 3 را به روشی غیر از روش کاردان-تارتاگلیا حل کرد.نمادهای خاصی را نیز هنگام نوشتن به کار می برد. مثلاْ به جای a²  و  a³  می نوشت: aa و aaa.

البته لازم است بدانیم که در این قرن چند جدول عالی برای محاسبه نسبتهای ششگانه مثلثاتی تالیف شد که بعضی از آنها تا 10 رقم اعشار دقت داشتند و محاسبه آنها 12 سال طول کشید.

این قرن یکی از مهمترین قرنها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهای فکری بیشتر، پیشرفتهای سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:

الف) کشف لگاریتم

ب) تدوین علامات و نمادگذاریهای کنونی جبری

ج) گشوده شدن پهنه جدیدی در هندسه محض به ویژه هندسه تصویری

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی

ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال

و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال

شاید بهترین راه برای بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصری از زندگانی ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:

1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاری هندی-عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها. «جان نپر» سومین اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نیست بلکه معکوس e است که البته خود او چیزی در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و جداول مربوط به آن، «هنری بریگز» که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و لگاریتم معمولی در پایه 10 را معمولاْ «لگاریتم بریگزی» می نامند. لگاریتم به معنای «عدد نسبت» است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است. (مراجعه کنید به صفحه 4 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.)
    
2. پاسکال: این نابغه فرانسوی، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و فقط با تلاشهای خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله ای درباره مقاطع مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع کرد. اما متاسفانه در طول 39 سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهای مذهبی، جسم ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین «چه ها که می شد!!» در تاریخ ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهای او عبارتند از:
   
   - تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی از قدیمی
     ترین احکام قابل قبول استقرای ریاضی استفاده شده است.
   
   - کشف و اثبات قضیه مشهور «هگزاگرام رمزی» که درباره یک 6 ضلعی محاط در یک مقطع
     مخروطی است.
   
   - پی ریزی علم احتمال به همراه «فرما» (ریاضیدان بزرگ فرانسوی). این علم به وسیله مکاتباتی
     بین پاسکال و فرما در تلاش برای حل «مساله امتیازها» در یک بازی شانسی به وجود آمد.
   
   - اثری درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه ای واقع بر محیط یک دایره، هنگامی که
     دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاک می غلطد، رسم می شود. این منحنی دهها
     خواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاری بین ریاضیدانان ایجاد کرد به طوری که به آن
     «سیب نفاق» گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب شده است، برای مطالعه آن
     به پاورقی صفحه 27 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید).  جالب است
     که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزی شبیه به سیب ایجاد می شود. 
   
   
3. دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهای جبری برای حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاری در ساده سازی مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات با درجات بالاتر از 2 پرداخت و قاعده زیبایی را به نام «قاعده علامات دکارت» برای تعیین تعداد ریشه های مثبت و منفی یک چند جمله ای به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه 70 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). او برای اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو چند جمله ای هم درجه برای به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوری است و مطالب بسیاری را به جهان فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهای جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که ارزش آموزشی زیادی دارد (مراجعه کنید به صفحه 50 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
    
4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاری از شاخه های ریاضیات کارهای مهم و اساسی انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:
   
   - تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از موسسان
     هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهای فرما عکس کارهای دکارت بوده است.
     دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما فرما از معادله شروع و
     سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.
   
   - تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده ای در نظریه اعداد داشت. قضایای
     بسیاری را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها درست بودن اغلب قضایای ثابت
     نشده او به ثبوت رسید(مراجعه کنید به صفحه 52 و 53 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د.
     ایوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید!  
   
   - فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزی کرد.
   
   - فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهای اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از طریق
     معادله f"(x)=0 نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه 93
     جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). همچنین او یک روش کلی برای یافتن مماس بر
     نقطه ای از یک منحنی که مختصات دکارتی آن معلوم باشد، ابداع کرد(مراجعه کنید به صفحه 93
     جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
   
   
5. ریاضیدانان معروف قرن 17 که قبل و یا همزمان با نیوتن می زیستند و در شکل گیری و پیشرفت
   حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند: (1) سیمون استوین (2) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما برای پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) (3) کاوالیری (4) فرما (5) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) (6) آیزاک برو (که احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)
   
   
6. نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهای او ساده نیست. ریاضیدان و فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه ای است که در جهان زیسته است. همچنین «لایبنیتز» رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهای انجام شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در 23 سالگی به درجه ای رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند. روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در 27 سالگی به استادی دانشگاه برگزیده شد و حدود 65 سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ دستاوردهای نیوتن را بدین صورت بیان کرده است: «طبیعت و قوانین طبیعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باری فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد.» البته نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازی در کنار دریا هستم که گاهی صدفهای زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از غولان، ارشمیدس و امثال او باشند. کارهای ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر است:
   
   - تالیف کتاب« اصول ریاضی فلسفه طبیعی» که با اصرار «هالی» ستاره شناس معروف و با هزینه او در سال 1687 چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده های زمینی و سماوی می پردازد و یک صورت بندی ریاضی از این پدیده هاست. این کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاری بر دنیای جدید داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.
   
   - بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهای مربوط به  سریهای نامتناهی
   
   - بسط روشهای مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحنای منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهای زیر منحنی ها و طول قوس آنها
   
   - ارائه روشی برای تقریب زدن مقادیر ریشه های حقیقی یک معادله جبری یا غیر جبری و نیز روشهای زیبایی برای مطالعه منحنی های درجه سوم
   
   
7. لایبنیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدی نیوتن در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباری بین این دو بر سر تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته دارای اندیشه ای عالی بوده است. بد نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که برای انجام کارهای سیاسی به کشورهای دیگر سفر می کرد. کارهای او در ریاضیات به طور خلاصه عبارتند از:
   
   - ارائه قسمت مهمی از نمادهای کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال که از S کشیده Summa -یک کلمه لاتین به معنای مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهای نیوتن آنچنان استفاده نمی شود.
   
   - استخراج بسیاری از قواعد مقدماتی مشتق گیری که معمولاْ در ابتدای درس مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم (مراجعه کنید به صفحه 113 جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
   
   - تلاش برای پایه گذاری نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان برای اولین بار
   
   - ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتوای مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهای نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).
   
   - لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را برای حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.