. ریاضیات در قرن 18 میلادی

این قرن را می توان قرن بهره برداری از حسابان نامید. وسیله ای که بلافاصله پس از کشف، قادر به حل مسائلی شد که قبل از آن تسخیر ناپذیر می نمودند. گستردگی کاربرهای آن حتی در مکانیک و نجوم، چنان اعجاب آور بود که اکثر ریاضیدانان این قرن را به خود جذب کرد و باعث تالیف مقالات بسیار شد. متاسفانه دقت کافی نیز در اثبات قضایا منظور نمی شد و کم کم دومین بحران بزرگ تاریخ ریاضیات شکل گرفت (اولین بحران، کشف عدد اصم در یونان باستان بود). این بحران، ورود بعضی از تناقضات عجیب و غریب در ریاضیات بود. مشکلی که بخش بزرگی از فعالیتهای ریاضیدانان قرن نوزدهم، معطوف به حل آن شد. قرن هجدهم شاهد رشد بیش از پیش نظریه احتمال، معادلات دیفرانسیل، هندسه تحلیلی، نظریه اعداد و نظریه معادلات بود. ضمنا در این قرن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، هندسه ترکیبی و هندسه دیفرانسیل نیز پا به عرصه وجود گذاشتند. حال مشابه روشی که در قرن هفدهم پی گرفتیم به معرفی ریاضیدانان بزرگ این قرن می پردازیم؛ با توجه به این نکته که مطالب زیر بسیار کوتاه و کاملا گزینشی هستند. ذکر این نکته نیز لازم است که برای فهم بعضی از مطالب زیر به معلومات دانشگاهی نیازمندیم.

1. خانواده برنولی: این خانواده سوئیسی، یکی از متشخص ترین خانواده ها در تاریخ ریاضیات بود. سابقه خانوادگی آنها با دوبرادر، یاکوب برنولی و یوهان برنولی آغاز می شود و با پسران یوهان به نامهای نیکولاس، دانیل و یوهان II و نیز پسر یوهان II، یوهان III و نوادگان دیگر ادامه می یابد. سابقه خانوادگی آنها را می توان از سال 1654 تا 1863 (حدود 210 سال) پی گرفت. به جهت اختصار فقط به کارهای دو برادر اول می پردازیم.
   
   - یاکوب برنولی: او کاربردهای مهمی از مختصات قطبی را ارائه نمود، فرمول شعاع انحنای یک منحنی در مختصات دکارتی و قطبی را استخراج کرد، منحنی همزمان را کشف کرد (این منحنی یک سهمی از درجه سه دوم است که مماس در نقطه بازگشت آن قائم است و هر جسم در امتداد آن با سرعت عمودی یکنواختی سقوط میکند)، مساله شکلهای هم پیرامون را طرح نمود
   (مسیرهای مسطح بسته ای از انواع مفروض که محیط آنها ثابت و مساحت آنها ماکزیمم است) و کتاب معروف فن حدس زدن را در موضوع احتمال ریاضی تالیف کرد. نام او در ریاضیات با توزیع برنولی و قضیه برنولی در آمار و احتمال، معادله برنولی در معادلات دیفرانسیل، اعداد و چند جمله ایهای برنولی در نظریه اعداد و لمینسکات برنولی در حساب دیفرانسیل و انتگرال همراه است. جالب است که بدانیم که کلمه انتگرال را نیز برای اولین بار، یاکوب برنولی به کار برد.
    
   - یوهان برنولی: او به حسابان غنای زیادی بخشید و در شناساندن قدرت آن در اروپا بسیار موثر بود. مقالات متعدد یوهان برنولی را مارکی دو لوپیتال در قالب اولین کتاب درسی حسابان گردآوری و منتشر کرد (بد نیست بدانیم که بعدها قاعده صورت مبهم صفر تقسیم بر صفر به غلط قاعده هوپیتال نام گرفت). محاسبه طول قوس منحنی ها، حسابان توابع توانی و تلاش برای حل دو مساله مهم کوتاهترین زمان و همزمانی که به دست آوردن منحنی هایی با شرایط خاص است، فهرستی از کارهای مهم اوست. ضمنا او یکی از موفقترین معلمین زمان خود بود.
   
   
2. دموآور: آبراهام دموآور یکی از دوستان صمیمی نیوتن بود و با تالیف سه کتاب، نقش مهمی در نظریه آمار و احتمال دارد. بررسی انتگرال احتمالاتی معروف
    
   
    
   برای اولین بار، بررسی منحنی فراوانی نرمال  که c و h ثابت اند و  فرمول استرلینگ
   
   
   
   
   (که به غلط چنین نامگذاری شده است) و فرمول مشهور
   
   
   
   
   که  ، همگی منسوب به اوست.
   
   
3. مک لورن: دانشجویان رشته های علوم پایه و مهندسی با دو بسط معروف و بسیار مهم تیلور و مک لورن آشنایی دارند. بسط اول در 1715 و بسط دوم در 1742 معرفی شد. بسط مک لورن چیزی جز تعمیم بسط تیلور نیست و خود تیلور از بسط مک لورن خبر داشت و قبلا آنرا معرفی کرده بود. مک لورن از نوادر عالم ریاضیات بود. در 11 سالگی وارد دانشگاه شد. در 15 سالگی فوق لیسانس گرفت و در 19 سالگی به استادی دانشگاه انتخاب شد. در 21 سالگی کتاب مهم خود - هندسه ذاتی- را منتشر کرد و در 27 سالگی استادیار دانشگاه بود. جالب است بدانیم که نیوتن برای اینکه مشکل پرداخت حقوق او حل شود و او در دانشگاه بماند، مخارج او را شخصا پرداخت می کرد تا دانشگاه از خدمات این نابغه قرن هجدهم بی بهره نماند. مک لورن بعدها جانشین نیوتن شد. 
   
   
4. اویلر: لئونهارت اویلر پرتالیف ترین نویسنده در تاریخ ریاضیات است و نام وی در هر شاخه ای از این علم دیده می شود. او در طول عمرش530 کتاب و مقاله منتشر کرد. حتی نابینایی کامل او که در 17 سال آخر عمر، سراغش آمد، اثری در شدت کار او نگذاشت و به کمک حافظه شگفت انگیز و توانایی تمرکز حواس حتی با وجود سرو صدای زیاد، کار خود را با دیکته کردن به یک منشی و نوشتن فرمولها روی یک تخته بزرگ، ادامه می داد. او شاگرد یوهان برنولی بود و 31 سال در آکادمی سن پترزبورگ و 25 سال در آکادمی پروس به کارهای علمی اشتغال داشت. او خارج از ریاضیات، در فیزیک، نجوم، پزشکی، گیاهشناسی، شیمی، الاهیات و زبانهای شرقی استادی برجسته بود و از تاریخ مدنی و ادبی کلیه اعصار و بسیاری از ملل با اطلاع بود و جالب است بدانیم که با این همه کار و مشغله علمی، 13 فرزند داشت!!  فیزیکدانی او را چنین معرفی می کند: اویلر را می توان بدون هیچ اغراقی، تجسم آنالیز دانست. او بی هیچ تلاشی، محاسبات خود را انجام می داد درست به گونه ای که انسان نفس می کشد و عقاب خود را در هوا نگاه می دارد. به خلاصه ای از کارهای اویلر می پردازیم:
   
   - رسمیت یافتن نمادهای  برای نماد تابع، e برای پایه لگاریتم طبیعی، r و R به ترتیب برای شعاع دایره محاطی و محیطی مثلث، برای علامت مجموعیابی و  i  برای واحد انگاری را به او مدیونیم.
   
   - فرمول بسیار مهم  نیز از کارهای اوست.
   
   -  در هندسه به خط اویلر مثلث برمی خوریم، در نظریه معادلات دانشجو روش اویلر را برای حل معادلات درجه چهارم فرا می گیرد و در نظریه اعداد، تابع فی اویلر نقشی مهم دارد. تابع گاما و بتا نیز منسوب به اویلر هستند. در معادلات دیفرانسیل، معادله معروفی به نام معادله دیفرانسیل اویلر و نیز در معادلات دیفرانسیل جزئی، قضیه اویلر درباره توابع همگن وجود دارد.
   
   - او از اولین کسانی است که کسرهای مسلسل را ایجاد کرد و به طور قابل توجهی نظریه اعداد را غنا بخشید.
   
   - او مقالات زیادی پیرامون تفریحات ریاضی مانند «بازی شطرنج» و «مربعهای لاتین» دارد.
   
   - او در ریاضیات کاربردی مانند نظریه حرکت ماه، کشتی سازی و نظریه موسیقی نیز کار کرده است.
   
   - او کتابهای درسی نیز تالیف می کرد، آنهم با نهایت وضوح، به تفضیل و کامل. کتابهای امروزی دانشگاهی، تقلیدی از سبک نوشتاری اویلر هستند.
   
   
5. کلرو: او از اعجوبه های ریاضی بود. در سن 11 سالگی مقاله ای درباره منحنی های درجه سوم و بعد از آن مقاله دیگری درباره هندیه دیفرانسیل نوشت و در 18 سالگی یکی از اعضای آکادمی علوم فرانسه شد. در 23 سالگی به همراه هیأتی علمی مشغول اندازه گیری طول یک درجه از یک نصف النهار زمین شد. درباره نظریه شکل زمین، نظریه ماه و بازگشت ستاره دنباله دار هالی کارهای زیبایی انجام داد. در معادله دیفرانسیل،معادله ای به نام معادله کلرو وجود دارد. پدر و برادر او نیز ریاضیدان بودند.
   
   
6. دالامبر: او یکی از پیشگامان حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. او در ریاضیات کاربردی و مبانی آنالیز ریاضی کارهای ارزشمندی دارد. دالامبر اعتقاد داشت که برای قرار دادن آنالیز بر یک شالوده محکم، به نظریه معتبری از حد توابع نیاز است ولی معاصرین او اعتنایی به این مطلب نکردند. او برای اثبات قضیه اساسی جبر - که هر چند جمله ای با ضرایب مختلط حداقل یک ریشه مختلط دارد - تلاش بسیار کرد به گونه ای که هم اکنون این قضیه در فرانسه به قضیه دالامبر معروف است. مطالب جالبی از دالامبر درباره ریاضیات نقل شده است. یکی از گفته های او را نقل می کنیم بدون اینکه درباره آن اظهار نظر کنیم: «تردید ندارم که اگر انسانها جدا از هم زندگی می کردند و در وضعیتی بودند که به چیز دیگری جز حفظ بقای خود نمی پرداختند، مطالعه علوم دقیقه را بر پروردن هنرهای دلپذیر ترجیح می دادند، زیرا به خاطر دیگران است که انسان در هنر به کمال می رسد ولی انسان به خاطر خویشتن، خود را وقف علوم دقیقه می کند. بنابر این به نظر من، در جزیره ای متروک یک شاعر به ندرت می تواند خود را مفید بداند، در حالی که یک ریاضیدان می تواند هنوز هم از غرور اکتشاف سرشار باشد. » 
   
   
7. لامبرت: یوهان هاینریش لامبرت، ریاضیدانی با کیفیت عالی بود و قوه تخیل بسیار قوی داشت. پسر خیاط فقیری بود و عمدتاً پیش خود درس خوانده بود. او اولین کسی بود که اصم بودن عدد پی را به طور دقیق ثابت کرد. او نشان داد که اگر x گویای ناصفر باشد آنگاه  tan x  اصم است. حال چون ، پس عدد پی اصم است. بسط منظم نظریه توابع هذلولوی و نمادهای امروزی این توابع را مدیون او هستیم. او در منطق ریاضی و نیز هندسه نااقلیدسی نیز کار کرده است.
   
   
8. لاگرانژ: احتمالا می توان لاگرانژ را اولین آنالیزدان واقعی دانست. بعضی از ریاضیدانان، لاگرانژ را حتی از اویلر نیز بزرگتر می دانند. نوشته های لاگرانژ کوتاهتر اما بسیار دقیقتر از نوشته های اویلر است. ظاهراً شعور ریاضی او نیز از اویلر قویتر بود. برای مقایسه این دو بد نیست بدانیم که می توان ریاضیدانان بزرگ را به دو دسته عملگران رسمی خبره و نظریه پردازان خبره تقسیم کرد که عده کمی نیز در هر دو دسته قرار دارند. با این دسته بندی اویلر در دسته اول، لاگرانژ در دسته دوم و گاوس دانشمندی سر آمد در هر دو دسته بود. عبارت معروف و جالبی از لاگرانژ نقل شده است که به ذکر آن می پردازیم: «یک ریاضیدان به فهم کامل هر بخش از کار خود دست می یابد مادام که چنان وضوحی به آن بخشیده باشد که بتواند آن را به نحو قاطعی به اولین شخصی که در معبر به او برمی خورد، توضیح دهد.»  مطالب دیگر پیرامون اعتقادات لاگرانژ را در قسمت مربوط به لاپلاس خواهیم آورد. جالب است بدانید ناپلئون بناپارت درباره لاگرانژ چنین اظهار نظر کرده است: «لاگرانژ برج رفیع علوم ریاضی است.»  حال به کارهای مهم او در ریاضیات می پردازیم: 
   
   - نمادهای  برای مشتق اول، دوم و ... تابع f، به لاگرانژ منسوب است.
   
   - او بنیانگذار اولین نظریه توابع با یک متغیر حقیقی است.
   
   - لاگرانژ کتابی دارد به نام «در حل معادلات عددی از کلیه درجات» که در آن روشی برای تقریب ریشه های حقیقی یک معادله به کمک کسرهای مسلسل ارائه می دهد.
   
   - سهم او در پیشرفت معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی بسیار قابل توجه است.
   
   -  او میل وافری به نظریه اعداد داشت و رساله های مهمی در زمینه نگاشت. او این قضیه مهم را که به نام خود او ثبت شد، اثبات کرد: هر عدد صحیح مثبت را می توان به صورت مجموع حداکثر 4 مربع نوشت.
   
   - بعضی از کارهای او در نظریه معادلات بعدها رهنمون گالوا در نظریه گروهها شد و قضیه مهمی به نام  قضیه لاگرانژ در این نظریه وجود دارد. 
   
   
9. لاپلاس: لاپلاس را نیوتن فرانسه می خواندند زیرا او کتابی پنج جلدی پیرامون مکانیک سماوی تالیف کرد که همه کشفیات قبلی در این زمینه، همراه با سهم خود او را در بر می گرفت و مولف را به عنوان استادی بی رقیب در این موضوع متشخص کرد. او در احتمالات، معادلات دیفرانسیل و ژئودزی نیز کارهای برجسته ای انجام داده است. هم عصر لاگرانژ بود اما از بسیاری لحاظ با او تفاوت داشت. به طور مثال تفاوت بارزی در سبک آنها وجود دارد. «کار لاگرانژ هم در صورت و هم در معنی کمال دارد و فهم استدلالهای او آسان است؛ اما لاپلاس هیچ چیز را توضیح نمی دهد، به سبک اعتنا نمی کند و اگر قانع شود که نتایجش درست هستند، برهانی برای آن ارائه نمی کند یا برهان غلطی ارائه می کند.» یکی از منجمین متذکر شده است که هرگز نشد به یکی از عبارات «بنابر این آشکار است » لاپلاس بربخورم بی آنکه مجبور باشم ساعتها برای پر کردن این شکاف کار کنم تا آن را بفهمم و نشان دهم که این مطلب چگونه به سادگی آشکار است!! در نظر لاپلاس ریاضیات کوله ای از ابزار است که برای توضیح طبیعت به کار می رود؛ اما در نظر لاگرانژ، ریاضیات هنری والاست و دلیل وجودی آن، خود آن است. البته لازم است بدانیم که لاپلاس برای مبتدیان در تحقیقات ریاضی بسیار سخی بود و در موارد متعددی از انتشار کشف خود، اجتناب می کرد تا به یک مبتدی اجازه دهد که زودتر از او فرصت انتشار آن را داشته باشد. لاپلاس دقیقاً صد سال بعد از درگذشت نیوتن از دنیا رفت و بنابر روایتی آخرین کلمات او چنین بود: آنچه می دانیم بسیار کم و آنچه نمی دانیم به غایت زیاد است.  
   
   
10. لژاندر: کار عمده لژاندر حول نظریه اعداد، توابع بیضوی، روش کمترین مربعات و انتگرالها متمرکز بود. شهرت او عمدتاً به خطر کتاب «اصول هندسه» اوست که در آن قضایای هندسه اقلیدس مجدداً تنظیم و ساده شده است. بعدها این تالیف به صورت نمونه کتاب درسی در آمریکا درآمد و ترجمه انگلیسی آن 33 مرتبه تجدید چاپ شد. نام لژاندر امروزه با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم و جواب این معادله یعنی توابع لژاندر و چندجمله ایهای لژاندر و نیز در نظریه اعداد با نماد معروف لژاندر پیوند خورده است. او یک کتاب 859 صفحه ای در دو جلد در نظریه اعداد دارد که اولین کتابی است که منحصراً به نظریه اعداد اختصاص دارد. او همچنین کتابی به نام «تمرینهای حساب انتگرال» نوشت که به علت جامعیت و قابل درک بودن با اثر مشابه اویلر برابری می کند. او به خاطر مثلث بندی کشور فرانسه به شهرت قابل توجهی دست یافت.
    
    
11. مونژ: گاسپار مونژ در 16 سالگی معلم فیزیک مدرسه ای شد که خود در آن درس خوانده بود. او با ابداع هندسه ترسیمی - که نمایش اشیاء سه بعدی به کمک تصاویر دو بعدی است -  معروف شد. او در دانشگاه فیزیک نیز تدریس می کرد و معلمی با استعداد استثنایی بود. مونژ را پدر هندسه دیفرانسیل می دانند. اثر او تحت عنوان «کاربرد آنالیز در هندسه» پنج بار چاپ شد و یکی از مهمترین مباحث اولیه هندسه دیفرانسیل رویه ها بود. او در این اثر، مفهوم خطوط انحنای یک رویه در فضای سه بعدی را معرفی کرد. همچنین مطالبی که هم اکنون در هندسه تحلیلی فضایی مانند بررسی خطها و صفحات در فضا، فرمولهای انتقال و دوران محورها، فاصله یک نقطه از یک خط در فضا و کوتاهترین فاصله بین دو خط متنافر بررسی می شود از کارهای مونژ است. جالب است بدانید که او دوست نزدیک ناپلئون و به شدت و در همه حال به او وفادار بود چه زمانی که ناپلئون بناپارت سرجوخه ای آرمانگرا و انقلابی بود و چه زمانی که امپراطوری خود خواه و مستبدی شد. مونژ مدتی به عنوان وزیر نیروی دریایی وارد خدمت شد و به ساختن اسلحه و باروت برای ارتش پرداخت. او دو برادر داشت که آنها نیز استاد ریاضیات بودند.
    
    
12. کارنو: او یکی از دانشجویان مونژ بود و او نیز شغل نظامی داشت. همانند استادش هندسه دان بود و برای اولین بار کمیتهای جهت دار را در هندسه ترکیبی به کار گرفت. یکی از کارهای کارنو پیدا کردن حجم یک چهار وجهی بر حسب شش یال آن بود. در ضمن فرمولی شامل 130 جمله به دست آورد که هر یک از 10 پاره خط واصل بین دو نقطه از 5 نقطه تصادفی در فضا را بر حسب 9 پاره خط دیگر بیان می کند. کارنو پسری داشت به نام «سعدی» که بعدها فیزیکدان برجسته ای شد. او به دلیل علاقه ای که به سعدی شیرازی داشت پسر خود را چنین نامگذاری کرد. نوه ای هم به نام سعدی داشت که رئیس جمهور فرانسه شد. کارنو بر خلاف مونژ بر علیه ناپلئون رای داد و راهی تبعیدگاه شد.
    
    
13. سوفی ژرمن: این قرن شاهد ورود جدی زنان به پهنه های ریاضیات بود. سوفی ژرمن به علت زن بودن از ثبت نام در «اکول پلی تکنیک» - یکی از معروفترین دانشگاهای فرانسه- منع شد؛ اما یادداشتهای اساتید زیادی از آنجا را تهیه می کرد و حتی با اسمی مستعار مقالاتی نوشت که تحسین لاگرانژ را برانگیخت. او حتی بعدها مورد تعریف و تمجید گاوس نیز قرار گرفت. در سال 1816 آکادمی فرانسه به خاطر مقاله ای در نظریه ریاضی کشسانی، جایزه ای به وی اعطا کرد. او مفهوم انحنای میانگین را به هندسه دیفرانسیل رویه ها معرفی کرد.