میدانیم در ضرب توان ها ی هم پایه یکی ازپایه ها را نوشته وتوان ها را جمع میکنیم .بنابراین لگاریتم که همان توان بود ضرب را به جمع تبدیل میکند،وتقسیم رابه تفریق. همین موضوع بود که باعث اهمیت لگاریتم شد، و خیلی زود جهانی شد. مبنای لگاریتم نپر عدد گنگ e بود که در علوم فیزیک،امار،احتمال و... کاربرددارد. چون مبنای عدد نویسی ده بود به پیشنهاد یک معلم مبنای لگاریتم ده نیز تعریف شد. مبناهای دیگر هم بعدها تعریف شد. خط کش محاسبه براساس همین محاسبات لگاریتمی ساخته شد. 1. عدد و شمارش دقیقا مشخص نیست که انسان پیش از تاریخ، چه زمانی از مفاهیمی همچون عدد و شمارش استفاده کرده است. اما لزوماْ به مفاهیمی همچون کم و زیاد، تعداد افراد قبیله، میزان وسایل زندگی خود و دیگران، تعداد دوست و دشمن و چیزهایی از این قبیل نیاز داشت. آنگونه که از گزارشهای باستان شناسان بر می آید، معمولا از روش تناظر یک به یک استفاده میکرد (رجوع کنید به شکلهای صفحه 8 و 9 و پاورقی صفحه 9 از کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). با پیشرفت بشر و نیاز به شمارشهای وسیعتر،انگشتان به عنوان پایه و مبنای شمارش، انتخاب و به هر انگشت، نمادی منسوب شد و اعداد بزرگتر به به صورت ترکیبی ار این نمادها نوشته شدند. به طو مثال دوازده یعنی دو از ده و twelve که که احتمالاْ از twe lif (دو روی ده) گرفته شده است. البته اعداد 2، 3، 4، 5، 12، 20 و 60 نیز قرنها در میان قبایل و اقوام مختلف به عنوان مقیاس به کار رفته است. چند مثال برای اعداد رومی در پایه 10 : علائم اصلی برای نوشتن اعداد رومی: اعداد اصلی 1 2 3 10 100 1000 5 50 500 علائم اصلی I II III X C M V L D برای نوشتن اعداد، رومیها از قانونی به نام اصل تفریق استفاده میکردند، بدین ترتیب که وقتی علامتی برای واحد کوچکتر قبل از علامت به کار رفته برای واحد بزرگتر قرار می گرفت، به معنی تفاضل این دو واحد بود. به چند مثال در جدول زیر توجه فرمایید: عدد علامت رومی 4 IV 9 IX 200 CC 1944 MCMXLIV دستگاه شمارش رمزی یا الفبایی یونانی: در این دستگاه، از 27 رمز برای نوشتن اعداد استفاده می شد. به دو جدول زیر که این رمزها را در قالب علائم اصلی توضیح می دهد، توجه فرمایید: حال به چند مثال توجه کنید: دستگاه شمارش موضعی: در این دستگاه، ابتدا یک پایه b انتخاب و سپس نمادهایی برای 0، 1، 2،...، b-1 معین میشود. هر عدد طبیعی n را می توان به طور یکتا به صورت زیر نوشت: . در این صورت n را با نمایش میدهیم، که . اگر b=10 ، این دستگاه را "دستگاه شمار هندی- عربی" گوییم. این دستگاه به هندیان که احتمالاْ مخترع آن هستند و به مسلمانان که آنرا تکمیل کردند و به دیگران آموختند، منسوب است. ظاهراْ بابلیهای قدیم، در فاصله های بین 3000 و 2000 قبل از میلاد، دارای یک دستگاه شمار در پایه 60 بودند. البته این دستگاه برای صفر علامتی نداشت. بد نیست بدانیم که قوم مایاها در آمریکا از دستگاهی استفاده می کردند که اساساْ در مبنای 20 بود و علامتی برای صفر هم داشتند. جمع و ضرب اعداد: روشهای جمع و ضرب کنونی، قدمت زیادی ندارند و در قرن پانزدهم میلادی ابداع شدند. اما ظاهرا علت پیدایش دیررس این روشها، ممکن است به دو علت مشکلات ذهنی ( به خاطر نقص در دستگاههای شمارش با نمادهای بسیار) و نیز مشکلات مادی (مانند نبودن کاغذ) باشد. بشر تا حدی با اختراع چرتکه این مشکل را حل کرد. اما روشهای کنونی،مدیون اختراع هندیان و نیز تکامل آن به وسیله مسلمین است - به ویژه خوارزمی که نقش برجسته ای در این کار دارد. نماد صفر را هندیان وارد دستگاه شمارش کردند و لازم است ذکر شود که zero ی انگلیسی احتمالاْ از زفیروم (به کسر زا ء) لاتین و آن از صفر عربی و آن از سونیای هندی به معنی پوچ یا تهی گرفته شده است. نیز واژه کنونی cipher انگلیسی، همان صیفرای عربی است. 2. ریاضیات بابلی و مصری با پیشرفته تر شدن جامعه بشری، انسان به ریاضیات عملی برای کارهای کشاورزی، مهندسی، علوم مالی و بازرگانی، محاسبات مربوط به زمان و تقویم، سنجش اوزان و مقادیر و ... نیازمند شد. کم کم با تقویت ذهن بشر، انسان به تجرید گرایش پیدا کرد و ریاضیات را برای ریاضیات مورد مطالعه قرار داد و در نتیجه، تمدنهایی همچون بابل، مصر، چین و هند ایجاد شد. حال به بررسی مختصر تاریخ ریاضی بابل و مصر باستان می پردازیم به دودلیل: یکی اینکه این دو از پیشرفته ترین تمدنهای باستانی هستند و دیگر اینکه سندهای معتبری از ریاضیات تمدنهای مهم دیگر مانند چین و هند باستان در دست نیست. (البته در قسمتهای بعدی، مختصرا به این دو تمدن نیز خواهیم پرداخت. ) ریاضیات بابلی: بررسی لوحهای پخته، نشان از مهارت بسیار بابلیها در محاسبه دارد. بسیاری از محاسبات عددی که برای انواع و اقسام قراردادهای رسمی و غیر رسمی مانند صورت حساب، رهن، قباله و ضمانت لازم بود، به کمک جداول انجام می شد، مانند جداول ضرب ، جداول معکوس اعداد، جداول مربعات و مکعبات و جداول توانها. این محاسبات بر حسب دستگاه موضعی شصتگانی بوده اند. احتمالاْ بابلیها با با قواعد کلی محاسبه مساحتهای اشکال دو بعدی - مانند مستطیل، مثلث و ذوزنقه- و سه بعدی - مانند مکعب مستطیل- و حتی محاسبه مساحت دایره آشنا بوده اند و عدد پی را سه یا سه و یک هشتم در نظر می گرفته اند. تقسیم محیط دایره به 360 قسمت را مدیون بابلیها هستیم. آنها احتمالا با قضیه فیثاغورس نیز آشنا بوده اند. در تجزیه و تحلیل لوح معروفی به نام پلیمپتن (Polimpton) مشخص شده است که آنها با سه تاییهای فیثاغورسی و جداول مثلثاتی به طور حیرت آوری آشنا بوده اند. ظاهرا روش حل بعضی از معادلات درجه 2، 3 و حتی درجه 4 را نیز می دانسته اند. توجه کنید که ریاضیات ایران باستان را نیز می توان جزئی از ریاضیات بابلی دانست. ریاضیات مصر باستان: آنگونه که از بررسی پاپیروسهای به جا مانده از مصریان قدیم می توان گفت این است که سطح ریاضی مصریان قدیم، هرگز به ریاضیات بابلی نرسید. بیشتر مسائل ریاضی باقیمانده از مصریان باستان، عددی و بسیار ساده هستند. اما از بعضی لحاظ، ریاضیات مصری را نمی توان نادیده گرفت. به طور مثال، مصریان از اعداد بزرگ مانند صدهزار و یک میلیون استفاده می کرده اند و دقت محاسبه ای که در ساختن اهرام مصر به کار رفته، واقعاْ حیرت آور است. مصریان، ضرب و تقسیم اعداد را به گونه ای جالب انجام می دادند به طویکه نیازی به حفظ کردن جدول ضرب نبود. مصریان سعی می کردند کسرها را به صورت مجموعی از کسرها با صورت یک بنویسند و به این وسیله مجموع کسرها را راحت تر به دست می آوردند. احتمالاْ از تصاعدهای حسابی و هندسی نیز استفاده می کرده اند. در جبر مصری تا حدی نماد گرایی نیز وجود داشت و نمادهایی برای جمع و تفاضل داشتند. ظاهراْ قاعده محاسبه مساحت مثلث را می دانستند و با بعضی از نسبتهای مثلثاتی(مانند کتانژانت) آشنا بوده اند. عدد پی را حدوداْ 3/16 حساب می کردند. ظاهراْ از قضیه فیثاغورس هیچ اطلاعی نداشتند، اما زاویه قائمه را با ساختن مثلثی به اضلاع 3، 4 و 5 می ساختند. بعضی از مسائل (همچون محاسبه درست هرم ناقص مربع القاعده) در پاپیروسهای مصری موجود است که نظیر آن در هیچ جای دیگری از شرق باستان، یافت نشده است.